圆周率的无限不循环定义说明了什么?

(应邀)

圆周率 π 的 无限不循环小数表示 3.1415926... ,本质上,是一个数项级数:

π = 3 + 1/10 + 4/10² + 1/10³ + 5/10⁴ + 9/10⁵ + 2/10⁶ + 6/10⁷ + ⋯

也就是说:

π 是数列,

A = 3, 1/10, 4/10², 1/10³, ...

的部分和序列,

Sᵣ = 3 + 1/10 + 4/10² + ⋯ + 1/10ʳ

的极限,即,

r → ∞, Sᵣ → π

可以证明 π 是无理数(具体证明可以参考小石头以前的回答),而以上逼近 π 的部分和序列Sᵣ 的各项都是有理数,这说明:

可以用 一个有理数序列 Sᵣ 来无限逼近 无理数 π。

这个结论,不仅对于π有效,而且对于任何 一个实数都有效,即,可以推广为:

可以用 一个有理数序列 来无限逼近 任何一个实数。

为什么可以这样呢?因为:

有理数在实数中稠密,即,任意两个不同的实数之间必然存在有理数!

这样以来,给定 实数 a,选择 小于 1 的正数 δ,当 r = 1, 2, ..., 时,有不同实数 a-δʳ 与 a+δʳ,必然有理数 pᵣ,使得,

a-δʳ < pᵣ < a+δʳ

从而,

|pᵣ - a| < δʳ

于是,我们得到了一个满足上面不等式的,有理数序列 :

P = p₁, p₂, ..., pᵣ, ...

对于,任意正实数 ε,因为 δ < 1,所以 必然存在 自然数 N,当 r > N 时,δʳ < ε,进而 |pᵣ - a| < δʳ < ε,于是 a 是 有理数序列 P 的 极限。

这样以来,我们就是找到了无限逼近 a 的有理数序列 P。

那么为什么有理数在实数中稠密呢?因为:

设,任意实数 a, b 满足:

a < b

则一定存在 有理数 p₁, q₁ 满足:

p₁ < a < b < q₁

因为,

有理数的 四则运算 结果依然是 有理数 ①

所以,p₁ 和 q₁ 的中点 c₁ = (p₁ + q₁) / 2 也是有理数。

如果 a < c₁ < b 则 命题得证;如果 p₁ < c₁ ≤ a,这时令 p₂ = c₁, q₂ = p₁;剩下只有 b ≤ c₁ < q₁,这时令 p₂ = p₁, q₂ = c₁。②

这样 p₂, q₂ 满足:

p₂ ≤ a < b ≤ q₂

再求 p₂ 和 q₂ 的中点 s₂ = (p₁ + q₁) / 2 然后重复 ②,然后

... ...

这个 过程不会一直重复下去,因为必然存在 第r次,使得 |pᵣ - qᵣ| / 2 < |a - b| 这时 a < cᵣ < b,因为:

如果 pᵣ < cᵣ ≤ a ,即 cᵣ ≤ a < b ≤ qᵣ,则 |a - b| ≤ |cᵣ - qᵣ| = |pᵣ + qᵣ / 2 - qᵣ| = |pᵣ - qᵣ| / 2,矛盾!

(b ≤ cᵣ < qᵣ 类似)。

这样我们就证明了:有理数在实数中稠密。在证明过程中,我们用到了 ① ,这说明:

有理数集(记为 ℚ) 对于 四则运算 封闭

通俗来讲,对 四则运算 封闭 的集合 称为 域。

ℚ 、实数集(记为 ℝ) 、复数集(记为 ℂ) 都是 域,但是 整数集(记为 ℤ) 不是,因为 ℤ 对 除法不封闭!

总结:

我们之所以可以用无限不循环小数来表示无理数,其根本原因是:有理数在实数中稠密!


其实,在数学中,关于稠密性的 精确定义如下:

设, E 是 距离空间 (X, d) 的 子集合,如果 对于 任意 x ∈ X,任意 正实数 ε,都存在 y ∈ E,使得 d(x, y) < ε,则称 E 在 X 中稠密,也称 E 是 X 的 稠密子集。

E 是 X 的 稠密子集 的 充要条件 就是 对于 任意 x ∈ X 都存在 E 中的 序列 {yᵣ },yᵣ → x。这与前面的讨论一致!

闭区间 [a, b] 上的全体连续函数 可以组成一个距离空间(记为 C[a, b]),多项式是函数的一种,所以 全体多项式组成 的集合(记为 P[a, b])是 C[a, b] 的子集合。可以证明 P[a, b] 在 C[a, b] 中 稠密,于是 对于任意 在闭区间 [a, b] 内 的连续函数 f(x),必然存在 多项式序列,也就是,幂级数,无限逼近 f(x) ,即,有:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ⋯

这称为 威尔斯特拉逼近定理 !可以求得 aᵣ = f⁽ʳ⁾(0)/r!,这就是 泰勒展开式 的本质!

总结2:

无理数的无限不循环小数来表示 和 闭区间上连续函数的泰勒展开式,其实是本质相同的事物。

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